Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Från cos x = 2 ∕ √5 tillsammans med definitionen för cosinus så kan du rita upp en (åtminstone likformig) triangel i vilken vi mäter vinkeln, med motstående katet och hypotenusa bestämda. Pythogoras sats ger då den sista kateten, vilket också ger ett exakt uttryck för sin x.

sin 4x kan sedan med hjälp av trigonometriska formler reduceras till en summa av termer som bara innehåller faktorer av sin x och cos x. Har man inte en tabell tillgänglig och vill slippa räkna så mycket så går man smidigt via komplexa tal och de Moivres formel, och noterar att:
   sin 4x = Im[eⁱ⁴ˣ] = Im[(eⁱˣ)⁴] = Im[(cos x + ⅈ sin x)⁴]
            = [Binomialsatsen, släng reella termer] = 4(sin x cos³x − sin³x cos x)
(Har man inte sett imaginära tal och/eller denna metod så går det lika bra att nå denna formel på andra sätt).

Både sin x och cos x har vi exakta värden för, så nu är det bara att sätta in och gå i mål.

(Ditt "=<" borde vara "=>" då du menar att vänsterledet är större än eller lika med högerledet, eller än hellre ">=", eller än hellre ≥ ).

Om a − b = 1 så är b = a − 1. Skriv om uttrycket du vill testa som
   a³ − b³ = a³ − (a − 1)³ = a³ − (a³ − 3a² + 3a − 1) = 3a² − 3a + 1
och kalla detta exempelvis f(a).

Hur ser denna funktion ut? Det är en andragradare, så vi vet att den har en stationär punkt (globalt maximum eller globalt minimum). Vi kan misstänka att vi kommer få en minimipunkt där funktionsvärdet är 1 ∕ 4; kan vi också visa detta så har vi löst uppgiften. Derivera f(a), hitta stationär punkt, rita teckenschema, dra slutsats.

Idé: alla primtal p (och faktiskt alla heltal ≥ 2, men primtal är det viktiga här) kan skrivas som endera av
   p = 3k
   p = 3k + 1
   p = 3k − 1
där k är ett positivt heltal (stanna upp och fundera på detta tills det är klart; testa några tal ≥ 2 för att se hur det hänger ihop). Vi testar vad som händer, och om vi kan visa att påståendet håller oavsett vilket av de tre fallen som råder så är vi klara.

Om p = 3k så är p bara ett primtal för k = 1, dvs p = 3 (alla andra möjligheter är ju multiplar av 3, och alltså inte primtal). Vi testar förutsättningarna och implikationen för denna enda möjlighet:
   p = 3           ←   3 är ett primtal, OK
   8p − 1 = 23   ← 23 är ett primtal, OK
   8p + 1 = 25   ← 25 är inte ett primtal, OK
Uppgiftens påstående stämmer alltså för alla primtal som kan skrivas som p = 3k (vilket bara är fallet p = 3).

Om andra fallet gäller, dvs p = 3k + 1, så kan vi titta på implikationen och notera att
   8p + 1 = 8(3k + 1) + 1 = 24k + 9 = 3(8k + 3)   ← multipel av 3, inte ett primtal, OK
Oavsett vilket p vi hittar på denna form som uppfyller förutsättningarna så kommer alltså implikationen gälla.

Då testar vi sista fallet: p = 3k − 1. Vi undersöker förutsättningarna och ser snarlikt ovan att
   8p − 1 = 8(3k − 1) − 1 = 24k − 9 = 3(8k − 3)   ← multipel av 3, inte ett primtal
Om p är ett primtal som kan skrivas på formen 3k − 1 så är alltså 8p − 1 aldrig ett primtal, och alltså kan förutsättningarna för påståendet aldrig gälla. Vi behöver inte ens testa implikationen.

Vi har nu testat alla möjliga primtal och hittat att om förutsättningarna gäller, så följer implikationen. Påståendet stämmer.

Den är inte så blodig, utöver att jag valde en "genväg" via komplexa tal för att trolla fram uttrycket för sin 4x. Känner man till formler för "dubbla vinkeln" så kan man lösa detta ungefär lika snabbt den vägen. Tricket med de Moivres formel är händigt om man av någon anledning inte har en formelsamling tillgänglig, eller av någon annan anledning vill härleda liknande formler själv. Den introduceras i det som numera kallas Matematik 4.

När de säger att cos x = 2 ∕ √5 så säger definitionen av cosinus att x är värdet på en vinkel i en rätvinklig triangel där förhållandet mellan närliggande katet och hypotenusan är just "2 till √5"; dvs x kan illustreras som den angivna vinkeln i följande triangel:

Från detta ger Pythagoras att längden av den återstående kateten är
   d = (√5)² − 2² = 1
vilket ger att sin x = 1 ∕ √5. Alternativt kan man direkt utnyttja exempelvis trigonometriska ettan:
   sin²x + cos²x = 1
      ⇒ sin x = √(1 − cos²x) = √(1 − (2 ∕ √5)²) = √(1 − 4 ∕ 5) = √(1 ∕ 5) = 1 ∕ √5
vilket uttrycker precis samma sak. Använder vi Pythagoras så sparar vi lite algebra, om än det inte är mycket som skiljer . Målet är bara att få fram ett exakt värde för sin x (i första kvadranten — utan denna information så hade vi inte vetat vilket tecken vi skulle ha) — alla vägar dit är rätt, så länge de inte är fel.

Egentligen behöver du inte derivera, då du kan motivera att det är en minimipunkt och dess värde redan utifrån att kvadratkomplettera uttrycket:
   f(a) = 3a² − 3a + 1 = 3(a − 1 ∕ 2)² − 3 ∕ 4 + 1 = 3(a − 1 ∕ 2)² + 1 ∕ 4
Utifrån att vi vet att kvadraten av ett reellt tal alltid är positiv så ser vi att funktionen har ett minimum då a = 1 ∕ 2 (då ger parentesen sitt minsta värde: 0), då funktionen har värdet 1 ∕ 4. Detta går ungefär lika snabbt som att derivera och sätta upp teckentabell, men kräver inte just derivering.

Att kolla var derivatan (lutningen på kurvan) är 0 (dvs en tangent är rent horisontell) är ett alternativt, mer generellt sätt att räkna ut var minimum/maximum ligger. När ni deriverat några tal till hösten så kan du gå tillbaka och se vad som hände i denna uppgift .

Primtalsuppgifter och många andra liknande uppgifter i talteori känns rätt "trickartade" till en början. När man gör många uppgifter så skaffar man sig en verktygslåda med trick att testa, och med tiden så blir man bättre på att se vilket verktyg som passar för en given uppgift. I början kan sådana uppgifter känns lite tröstlösa, då det känns som att man inte kommer någonstans förrän man kollat lösningen och sett tricket demonstreras en gång (och då är ju uppgiften redan över), men efterhand så blir de lite roligare igen när man märker att man kan använda tricken på andra uppgifter, kanske i kombination med annat, etc.

När du gissar att sin x = 1 ∕ √5 skulle implicera sin 4x = 4 ∕ √5 så hoppas du på att sin 4x skulle vara samma sak som 4 ⋅ sin x, men så lätt fungerar inte de trigonometriska funktionerna — vi kan direkt se att det måste vara falskt då sin x alltid måste ge ett värde inom intervallet [−1, 1] (för reella x), men 4 ∕ √5 = 1.788… > 1.

För att lista ut hur vi kan uttrycka sin 4x i termer som bara innehåller faktorer av sin x (dvs inte sin 2x, sin 3x, …) och cos x (dvs inte cos 2x, cos 3x, …) så måste vi använda trigonometriska samband. Återigen så var vägen via komplexa tal inte nödvändig; om vi hade haft en formelsamling tillgänglig med
    sin 2α = 2 sin α cos α      (1)
   cos 2α = cos²α − sin²α    (2)
(eller om vi kunnat dessa ändå) så hade vi kunnat förenkla enligt:
   sin 4x = [(1)] = 2 sin 2x cos 2x
      = [(1) för första faktorn, (2) för andra] = 2 (2 sin x cos x) (cos²x − sin²x)
      = 4 (sin x cos³x − sin³x cos x)

Det kopplar till hur vi ritar upp koordinatsystem:

De romerska siffrorna visar vad vi kallar den första till den fjärde kvadranten. Vi mäter vinklar från den positiva axeln och motsols, och om vi ritar upp en enhetscirkel i ett sådant koordinatsystem (en cirkel med radie 1 centrerad i origo) så definierar vi sin t och cos t som x- respektive y-koordinaten för en viss punkt på cirkeln vid vinkeln t:

Om de inte hade sagt att vi var i första kvadranten så hade ett positivt cos-värde inte kunnat utesluta att vi varit i den fjärde kvadranten, varpå vi i så fall hade fått ett minustecken på vårt sin-värde. Hur sin och cos hänger ihop och hur värdena är olika i olika kvadranter kommer ni säkert också beröra närmre i senare kurser.

   3a² − 3a + 1 = 3(a² − a) + 1
Vi tittar bara på det som är inne i parantesen för att göra det tydligare:
   a² − a
Jag vill nu använda kvadreringsformeln:
   (a ± b)² =  a² ± 2 a b + b²
"baklänges", så att jag kan bilda en "kvadrerad parentes" utav vad jag har. Efter att ha sett detta någon gång så vet jag att ifall jag skulle utveckla (a − 1 ∕ 2)² så får jag
   (a − 1 ∕ 2)² = a² − a + (1 ∕ 2)²
där den gröna biten ju var precis vad jag ville ha. Att jag valde att stoppa in 1 ∕ 2 i parentesen var för att jag utifrån kvadreringsformeln vet att jag kommer få "dubbla produkten" i slutresultatet, så om jag stoppar in hälften av koefficienten framför den linjära term jag vill ha så kommer jag återfå denna.

Den röda biten gör att (a − 1 ∕ 2)² inte riktigt går jämnt upp med a² − a, men om jag bara flyttar över den till andra sidan så har jag helt plötsligt likheten
   a² − a = (a − 1 ∕ 2)² − (1 ∕ 2)²    (3)
Nu har vi samlat a-termerna inuti en "hel" kvadrerad parentes — varför detta är smart ser man om man fortsätter lösa ekvationen.

Tillbaka till vårt uttryck:
   3a² − 3a + 1 = 3(a² − a) + 1
      = [(3)] = 3((a − 1 ∕ 2)² − (1 ∕ 2)²) + 1
      = 3(a − 1 ∕ 2)² − 3 ⋅ (1 ∕ 2)² + 1 = 3(a − 1 ∕ 2)² − 3 ∕ 4 + 1
vilket var vad vi ville visa.

Den så kallade p q-formeln härleder man väldigt snabbt genom att kunna kvadratkomplettera. I praktiken så går det precis lika snabbt, om inte snabbare, att använda kvadratkomplettering direkt för att lösa andragradsekvationer. Jag står fortfarande lite frågande till varför man lägger sådant fokus på p q-formeln på gymnasiet, då den mest verkar till att göra andragradslösning "magisk", där elever lär sig använda en formel utan att förstå riktigt hur den uppstår, men men.

Här använde jag vektorprogrammet Inkscape. Vinkeln är en ifylld cirkel där jag använt triangeln som "maskning", och den räta vinkeln är en kvadrat som skeppats till triangelns sydöstra hörn. Texten använder funktionen
   Extensions → Render → LaTeX…
där man kan inkludera färdigrenderad LaTeX-kod. LaTeX är generellt det som används för att skriva matematiska artiklar, böcker, etc., åtminstone efter gymnasiet. Jag skrev en textvägg om olika program för sådana saker i detta inlägg om att skapa liknande bilder.

Rot- och kvotkriteriet ger ingen omedelbar information här, men du kan använda jämförelse med en annan passande serie.

1. Ni bör ha tittat på serien
      Σ 1 ∕ nᵖ från n = 1 till ∞, p ∈ ℝ
   och sett när den är konvergent respektive divergent (fallet p = 1 kallas den "harmoniska serien").

2. När n → ∞ så växer ln n förr eller senare långsammare än vilken positiv potens av n som helst.

Om du kan hitta en

• konvergent serie som termvis dominerar din serie så kan du jämföra med denna för att visa att din serie är konvergent.

• divergent serie som termvis domineras av din serie så kan du jämföra med denna för att visa att din serie är divergent.

Det finns flera sätt att nå samma svar (exempelvis integraltestet), men jämförelse med en känd serie är nog det som är tänkt att användas.

Att formulera något är bara att skriva upp hur metoden ser ut och eventuellt används. Att härleda något är snarare att visa varför ett visst samband stämmer/fungerar.

Om du inte fått något bra svar fram tills imorgon lunch så visar jag svaren på båda uppgifter, dock har jag lagt undan grafräknaren för idag så förhoppningsvis svarar någon annan.

Kan man kanske göra, jag skulle ha gjort en integral mellan 86 och 80+10xstandardavvikelsen med f(x) som bilden nedan,
tagit det värdet gånger 400 vilket ger 9,10000000 dvs ung 9 bullar....

Som sagt får du dock bättre imorgon om inte @phz gör sin magi på samma sätt som han gör i matematiktråden??

Till TS: Matematiktråden: #15441759