Mattematikproblem

Om det är två bilar och programledaren tar bort en bil borde man inte byta. (om man vill ha bilen det vill säga )

En annan rolig modifikation man kan göra på problemet som gör att den får en liten knorr är att säga att om man prickar in bilen rätt först (utan att byta) så får man 2 bilar istället för en men om man byter så får man endast 1. Med det upplägget spelar det ingen roll om man byter eller inte:
Byter: 2/3 kommer man få en bil; på tre gånger genomsnitt 2 bilar
Byter inte: 1/3 kommer man få två bilar; på tre gånger genomsnitt 2 bilar.

(detta utan hänsyn till marginalnytteteorin och liknade)

Garnax:
Inträffar de 8 olika fallen du visade lika ofta? Om inte så är det ju väldigt fel att räkna som de just gjorde det.

(Jag blandar inte in om man vinner eller ej, då det bara rör till det i onödan)

val 3=rätt
val 1 och 2=fel

Om man väljer 1 så kan han bara välja 2 (vinst vid byte)
Om man väljer 2 så kan han bara välja 1 (vinst vid byte)
Om man väljer 3 så kan han välja både 1 och 2. (förlust vid byte)

Den sista när man väljer 3 finns 2 val, om programledaren väljer helt slumpmässigt så skulle hans både val inträffa lika ofta. Så att det är 50% att det blir låda 1 och 50% att det blir låda 2.

Då har man 4 alternativ:

Om man väljer 1 så kan han bara välja 2 (inträffar 1/3)
Om man väljer 2 så kan han bara välja 1 (inträffar 1/3)
Om man väljer 3 så kan han välja 1 (inträffar 1/3*1/2, då den skall fördelas på de båda )
Om man väljer 3 så kan han välja 1 (inträffar 1/3*1/2,då den skall fördelas på de båda )
Så det blir fyra alternativ där sannolikheterna är:

1a: inträffar 1/3 (vinst vid byte)
2a: inträffar 1/3 (vinst vid byte)
3a: inträffar 1/6 (förlust vid byte)
4a: inträffar 1/6 (förlust vid byte)

Vid 1 och 2 vinner man och vid 3 och 4 förlorar man vid byte.
Summan för de båda blir:
1 och 2 = 1/3+1/3 = 2/3 (vinst vid byte)
3 och 4 = 1/6+1/6 = 2/6 = 1/3 (förlust vid byte)

*edit*
Baserat på salve exempel om Gates och även med Bush.
Det finns 4 utfall.
Där Gatespengar betyder att han har satt in en viss summa pengar på ens konto imorgon.
Där Bushpengar betyder att han har satt in en viss summa pengar på ens konto imorgon.

Fall 1: Inga pengar på kontot från båda
Fall 2: Enbart "Gatespengar"
Fall 3: Enbart "Bushspengar"
Fall 4: Bushpengar och "Gatespengar"

Det finns alltså 4 fall, men kan man ignorera att det i verkligheten inte är samma sannolikhet för dem att inträffa? (som för dina fall, fast där är det inte lika extremt)
Liksom hur stor chans är det att man både har fått pengar från Bush och Gates imorgon på kontot? Inte är det 1/4 chans i alla fall.

Jaha jag trodde inte man fick det man valde bort

Nej det får man ju inte...

Står man kvar får man det som är i dörren, är det en bil så får man en bil till.
Byter man får man endast det som är i den dörren man byter till, men är det en bil så får man bara bilen som är i dörren (ingen extra).

Sorry om jag skriver dåligt idag (eller varje dag ) är väldigt trött...

Ingen om har någon tanke på Kuvert problemmet?

Om det är 50% sannolikhet att det är en fördubbling,. Då kommer ju resultatet vid många försök närma sig resultatet vid två försök i rad där man provar båda varianterna.

Tänk dig då att du har två försök, om du inte byter så får du:
1000+1000=2000kr
Om du byter finns det fyra lika sannolika scenarion:
2000+2000 = 4000kr
2000+500 = 2500kr
500+2000 = 2500kr
500+500 = 1000kr

Snittet blir (4000+2*2500+1000)/4 = 10000/4 = 2500kr

Å andra sidan, om man istället byter ut det hela mot att bara använda 1000kr och 2000kr, på två försök får i snitt du om du inte byter:
1000+2000 = 3000kr
Om du byter:
2000+1000 = 3000kr

Så vad var misstaget? Det var en bra fråga. Tycker iaf jag tydliggjorde problemet lite. Jag har en teori om att det kan ha att göra med hur vi väljer talen.

Ett kodexempel som visar på det problemet:

>>> alf = 0
>>> ben = 0
>>> for i in range(100000):
... 	amount = random.randint(20,20000)
... 	amount2 = amount*random.choice([0.5,2])
... 	alf += amount
... 	ben += amount2
... 	
>>> alf, 
100...
>>> ben
126...

>>> for i in range(100000):
... 	amount = random.randint(20,20000)
... 	amount2 = amount*random.choice([0.5,2])
... 	alf += random.choice([amount, amount2])
... 	
>>> alf
113...

Så om frågesporten har använt en slumpgenerator för att avgöra om de ska dubbla eller halvera summan så bör man byta om man vet att man har kuvertet som de satte första summan i.

Frågan är varför det inte stämmer när man inte vet första summan. Får terrorisera min mattelärare med det imorgon.

Alldeles för trött för att skriva detta egentligen, risken är att jag är ute o cyklar...

Borde du inte räkna ut genomsnittliga förändringen när man byter på samma sätt som förut, om inte varför inte (förstår inte skillnaden mellan exemplerna)...

alltså följande:

Byter inte:
1000+2000=3000kr
Byter:
2000+4000=6000kr
2000+1000=3000kr
500+4000=4500kr
500+1000=1500kr

Genomsnittet vid byte (6000+4500+3000+1500)/4 = 3750kr (vilket stämmer med 5n/4+5m/2 då n = 1000 och m = 2000).

Ska kolla på programmen i morgon men verkar riktigt spännande om du kommit fram till det jag i min trötthet uppfattat att du har gjort

Läs och lär, pojkar:
http://www.math.kth.se/matstat/gru/godis/getter.pdf

Problemet ligger ju bara i hur programledaren resonerar. Sannolikheterna ändras beroende på om han försöker hjälpa dig eller inte.

Intressant, fast det är väl fortfarande större chans att vinna åtminstone en bil om man byter? Hade man bara fått en chans så hade jag nog bytt isf, man vill ju inte riskera att bli helt lottlös

Fast problemet som behandalts här har ju varit a) ,, även om Savje redde ut hur det var med den "berusade" programledaren också.

Bra förklaring: http://www.maa.org/devlin/devlin_0708_04.html

Kort så kan man förklara det som att det omöjligen alltid kan vara 50% slh för att man ska få "dubbelt upp" vid ett val av det alternativa kuvertet. Problemet för beräkningen är ju att man inte vet fördelningen för innehållet i de två kuverten; en fördelning som gjorde att man alltid hade 50% slh att få ett högre belopp (respektive lägre) vid ett kuvertbyte (oavsett startvärde) skulle ha en oändlig sannolikhetsmängd (dvs existerar inte).

När man valt ett kuvert så finns det alltså en slh att man kan få dubbelt upp vid ett byte, men den kan inte antas alltid vara 50%. Ska man implementera ett försök så bör man alltså bestämma förutsättningarna ordentligt.

Precis, det var det jag menade med marginalnytteteorin... den säger (mycket förenklat och kort) att det är bättre med en bil två gånger än två bilar en gång...

Sebastianj:
Mycket intressant! Var så säker på att det inte skulle funka 'empiriskt' att jag inte ens bemödade mig att testa...

Fick samma resultat som du...
Tillvägagångsätt 1: Om dom börjar med att lägga en summa i kuvert 1 och sedan antingen dubbla eller halvera innehållet i det andra kuvertet (2:an) så ska man byta (som ditt första program visar).

Tillvägagångsätt 2: Om dom däremot har på måfå lagt in ursprungliga belopp i något kuvert (antingen 1 eller 2), och sen dubblat eller halverat (dom kan göra en av dom hela tiden eller bland mellan dom) till det andra kuvertet, så spelar det ingen roll om man byter eller inte. Som du visar i ditt andra program.

Problemmet är att tillvägagångssätt 1 och 2 verkar vara likvärdiga, resultatet borde väl vara det samma (på samma sätt som att det inte spelar någon roll vilken strumpa man sätter på först, man kommer ju sluta med två strumpor på fötterna oavsett). Dock är det bevisligen inte så och om man tänker lite så märker man varför; en dubbling är i absoluta värden alltid mer än en halvering (närmare bestämt dubbelt så stor) därav kommer man tjäna på att ta det kuvertet som det las in pengar i sist (alltså som har dubbelt eller hälften av det första)...

Alltså skulle man kunna säga att det som är fel i synsätt 1 är att man där förutsätter att man att man alltid får det kuvert vars innehåll inte har blivit dubblat eller halverat.

Rätt sätt att tänka skulle vara så här:
x är den minsta summan i de två kuverten, alltså ligger det 2x i det andra. Det är 50% att du får x och 50% att du får 2x. Får man x, tjänar man ett x på att byta. Får man 2x, förlorar man x på att byta.

Alltså Om man byter:
50% av gångerna har man 2x och förlorar x, 50% av gångerna har man x och tjänar x.
0.5*x-0.5*x=0

Dock skulle synsätt 1 förespråkaren påpeka (som jag helt håller med i hans kritik) att "Rätt sätt att tänka" är helt analogt med synsätt 2, och man inte har visat varför synsätt 1 är fel; oavsett om man väljer den som har blivit dubblad/halverad eller inte så kommer det alltid vara 50% att det är dubblat i den man inte väljer och 50% att det är halverat, därför borde hans uträkning stämma.

Så inget svar från mig heller än... Men kanske nått steg på vägen kanske, tror man kan koncentera sig på (1) att en dubbling är större än en halvering och det är det som synsätt 1 utnyttjar och (2) att synsätt 1 ser båda som en dubblering/halvering av varandra och detta kan man inte göra. Om 1 och 2 skulle stämma skulle man ju ha pekat på vad synsätt 1 gör för fel, dock verkar 2:an vara fel, man kan ju se kuverten som varandras dubbling/halvering, därav har man inte visat synsätt 1 fel... jaja, hoppas din mattelärare kommer med något smart...

Skrivkramp:
Hmm, fusk o goggla ju :/
Hittade två artiklar av en kille som har behandlat det både matematiskt och beslutsteoretiskt om någon är intresserad:
http://consc.net/papers/envelope.html
http://consc.net/papers/stpete.html

Hehe, pratade med min lärare. Men redan när jag började förklara problemet så kom vi in på dörr-problemet, och resten av tiden fick jag försöka förklara för honom varför det inte är 50-50 i andra valet. (han accepterade att det var 33-66, men kunde inte förstå det rent logiskt.) Sen blev det en hel del diskussion i klassen, två personer förstod iaf.

skrivkramp hade ju en bra länk. Vet inte om jag förstod helt. Men har jag förstått det rätt så är felet man gör att anta att sannolikheten för att man vid byte ska få dubbla är 50%, när så inte är fallet, eftersom det skulle bygga på att slumptalet låg linjärt mellan 0 och oändligheter, vilket självklart inte är möjligt.

Mycket intressant som sagt, kan vara användbart om någon vill grilla sin mattelärare eller så (som Sebastianj gjorde )

Har en till som är väsentligt mycket lättare men ändå väldigt underhållande (och har en lite mer filosofisk prägel över sig, men fortfarande matematiskt i grunden). Den kallas Haren och sköldpaddan (eller ibland och ursprungligen Akilles och sköldpaddan). Det är i alla fall en hare och en sköldpadda som bestämt att dom ska tävla i en löptävling, närmare bestämt en kilometer lång. Dock tycker sköldpaddan att det skulle vara orättvist om han inte får lite handikapp, och ber att få starta 20 meter före haren. Haren, som vet att han springer exakt dubbelt så snabbt som sköldpaddan (haren springer i 20 meter/min och sköldpaddan 10 meter/min), går med på detta.

Sköldpaddan står nu 20 meter före haren och de båda väntar på startskottet. Dock kommer vi följa tävlingen från en lite annorlunda tidsperspektiv, varje gång haren har kommit upp till den platsen som sköldpaddan var senaste vi stannade eller när någon av dom går över mållinjen så stannar vi (i tanken) tävlingen och ser hur det står.

- Första gången vi stannat är ju självklart innan vi har börjat; sköldpaddan är 20 meter från startlinjen och haren 0 meter från den.

- Andra gången är då när haren nått fram till det ställe där sköldpaddan var senaste gången vi stannade, alltså vid 20 meter. Dit når han efter 1 minut. Då är sköldpaddan vid 30 meter (han sprang ju i 10m/min).

- Tredje gången: när haren är vid 30 meter, sköldpaddan är då vid 35 meter.

O.S.V.

Vad som är intressant med detta är att haren kommer aldrig springa om sköldpaddan, varje gång han kommer till det ställe som sköldpaddan tidigare var vid så har ju sköldpaddan rört sig lite framåt (tillslut blir det väldigt lite, men fortfarande framåt). Då både haren och sköldpaddan är så inriktade på att göra klart tävlingen så kommer de inte dö förän de är klara, alltså kan de hålla på i oändligheten.

Alltså har vi kommit fram till att (1) haren kommer alltid ligga efter sköldpaddan, (2) både haren och sköldpaddan kommer alltid fortsätta framåt (alltså aldrig stanna eller gå bakåt) och (3) de kommer hålla på i oändligheten om det skulle vara nödvändigt. Av 2 och 3 är det lätt att sluta sig att de kommer komma i mål, från den slutsatsen och 1 så kommer man ju fram till att sköldpaddan kommer komma i mål först (även om det kommer vara otroligt nära mellan dem). Alltså kommer sköldpaddan vinna!

p.s. Om det skulle vara någon som undrar vad det är för konstigt med att sköldpaddan skulle vinna kan ni ju kolla på den här ut räkningen:

Haren springer i 20 meter / minut, kommer alltså i mål efter 1000/20 = 50 minuter.

Sköldpaddan har efter 50 minuter kommit (han springer ju 10 meter / minut) 10 * 50 + 20 = 520 meter.

Alltså enligt den uträkningen så är sköldpaddan 480 meter efter haren när haren går i mål.

Så precis som förra, svåra är inte att motbevisa utan visa vad som är fel i den. d.s.

Edit: Man kan tillägga att det inte är nödvändigt att använda de värderna jag har använt ovan:

Om h är harens fart, s är sköldpaddans fart, L är loppets längd och f är så långt handikapp som sköldpaddan får så funkar paradoxen varje gång h,s,L och f är positiva rationella tal och uppfyller sL/h+f < L

Den var ju inte svår, du har helt enkelt gjort en tidsmätning som i ökande upplösning går mot tiden då haren springer förbi sköldpaddan. Klart att han aldrig kommer förbi om du inte mäter efter tidpunkten han kommer förbi.

Poängen med att bara mäta till den tidpunkten ser jag dock inte. Prova ta ögonblickbilderna med jämna tidsmellanrum istället så blir det lite mer logiskt.

hehe, precis... Som sagt inte så svår Fel ligger lite mer preciserat att oändligt många oändligt små sträckor inte summerar upp till en ändligsträcka.

Man kan ta ett exempel som visar absurditeten. Ponera att du har en 1 meter lång pinne. Du delar denna i hälften och delar dom bitarna i hälften och delar dom bitarna osv osv. Och gör detta ett tag, säg oändligt länge så har du då oändligt många bitar som alla är större än noll och oändligt många gånger något som är större än noll är ju oändligt stort... Simsalabim har du fått en oändligt lång pinne från en meter lång pinne.

Precis, gjorde en pliten pedagogisk bild för att förklara:

I det resonemanget har du ju ytterligare ett fel. Man kan inte dela en pinne i oändligt små delar.

Du har inte oändligt många bitar som är större än noll, du har oändligt många(∞) oändligt små bitar(1/∞). Med andra ord har du ∞ * 1/∞ = ∞/∞ = 1 pinne. I allmänhet kan man dock säga att har man fått fram oändlighet i sin kalkyl så är det fel i förutsättningarna.

Mycket pedagogisk bild, visar väldigt tydligt vad som händer...

Precis, det är problem med oändlighetsbegreppet som gör att man får fel slutsats... (må vara ute på djup vatten, då mina matematik kunskaper är lite knappa här) Man tolkar 1/∞ > 0 vilket är fel. Om x = 1/∞ och y är minsta möjliga rationella talet över 0. så är x: 0 < x < y. (En gränsvärdesberäkning av 1/∞ antar jag ger 0, dock ger det fel resultat då ∞*0 ger 0 och då har man trollat bort en pinne till ingetting...)

Ojoj, villa inte bort dig nu, kom bara ihåg att 1/0 är ett tal man alltid bör undvika. Lyckas du inte får du försöka hitta en annan lösning eller ge upp. Limus är ofta bra att ha i sådana fall. Samma sak gäller ∞.

Hehe, som sagt kanske villa bort mig lite... men förstår inte din kritik, men men spelar ingen roll, vi är ju överens ändå, missförstår säkert bara varandra...
Edit: Det jag menade var att gränsvärdesberäkning (limes) inte funkar heller i detta fall. Det jag ville komma till är att man varken kan anta att x=0 eller x=y (och självklart inte heller x<0 eller x>y) alltså borde x, om det ens ligger på tallinjen, ligga 0<x<y...

Har i alla fall ett annat problem som också har med oändlighet att göra, dock lite svårare.

Ponera att en man har ett hotell som är minst sagt lite annorlunda. Hotellet har oändligt många rum och alla rum är upptagna. Så en morgon kommer en ny gäst till hotellet och följande dialog utspelar sig:
Gästen: "Hej, har ni något rum ledigt?"
Hotellägaren: "Nej det har vi inte."
Gästen: "Okej, men då vill jag ha ett rum."
Hotellägaren: "Ja visst, det går alldeles utmärkt"
Är detta möjligt i så fall hur och om inte varför inte?

Svårare problemuppställning:
En busschafför för en minst sagt annorlunda buss, den har nämligen oändligt många passagerare, kommer in och frågar om dom kan få ett rum till varje passagerare, och hotellägaren svarar: "Ja visst, det går alldeles utmärkt"
Är detta möjligt i så fall hur och om inte varför inte?

Ännu svårare problemuppställning:
Oändligt många busschafförer, som också har oändligt många passagerare, kommer in och frågar likt förut om dom kan få ett rum till varje passagerare. Som alltid svarar hotellägaren "Ja visst, det går alldeles utmärkt".
Är detta möjligt i så fall hur och om inte varför inte?

För att ett hotell inte kan ha oändligt många rum. Om du vet ett sätt att göra ett hotell med oändligt många rum så pm:a mig.

För att en buss inte kan rymma oändligt många passagerare, om du vet ett sätt, se ovan.

För att det inte finns oändligt många busschafförer. Om du har en utbildningsplan för att fixa det säg gärna till, låter som att den skulle kunna lösa världens utbildningsproblem.

Mähh va tråkig du är, du försöker ju inte ens...

Sa faktiskt "ponera"... I den här världen vi pratar om nu är det möjligt att ha det

Är inte minsta rationella talet över 0 oändligt litet? eller är det fel att tänka så?

Hm, i de två sista problemställningarna blir det ju svårt, eftersom antalet passagerare aldrig tar slut, vilket rummen inte heller gör. Det blir någonslags rundgång eller vad man skall kalla det. Men hur är det i den första egentligen?, ett oändligt antal rum borde inte kunna fyllas...

Har förresten ett annat problem med anknytning till den diskreta matematiken
"En barberare i en liten stad rakar alla som inte rakar sig själva. Rakar barberaren sig själv?"

Fast du glömde att skriva att när en ny gäst flyttar in, så flyttar de övriga gästerna upp ett steg, så att det första rummet blir ledigt.

Med oändligt antal bussar tänkte jag först att totala antalet passagerare var en "större" oändlighet än antalet rum, men så visade sig inte vara fallet.

Här kan man läsa mer om någon är intresserad:
http://sv.wikipedia.org/wiki/Hilberts_hotell

Som sagt är ingen matematiker, men ett rationellt tal definierar ju som kvoten av två positva heltal och då ∞ knappast är ett positivt heltal så är inte 1/∞ ett rationellt tal, så nej är väl det man kan svara. eller?

En mycket underhållande paradox dock är det inte inom den diskreta matematiken, utan mängdteori som anses som en del inom logiken. Paradoxen (som kallas Russells paradox) är en äkta paradox, därför olöslig. Mer formellt är den formulerad som "Bilda mängden av alla mängder som inte är delmängd i sig själv, är den mängden en delmängd i sig själv?". Om man ska peka på varför den är ogiltig så får man peka på den självrefererade aspekten vilket ofta leder till liknade svårigheter/paradoxer.

En liknade med självreferens: "Jag ljuger nu." Ljuger jag eller inte?

En annan (också med självreferens) för alla som har läst lite logik:
Premiss 1: Om premiss 1 är sann så finns jultomten.
Premiss 2: Premiss 1 är sann.
---------------------------------------
Alltså: jultomten finns. (Med modus ponens av 1 och 2)

Kanske missförstår dig, men om du menar att han har 50% chans att träffa bilen i första valet så får du köpa dig en mattebok, om du menar att det inte spelar någon roll om man byter eller inte så får du läsa igenom tråden igen.

Alltså det är ju självklart att det är underförståt att den som uttalade satsen menade att barberaren rakar sig själv... Dock om man ser vad satsen egentligen säger så är det:

Om en person som är invånare i byn rakar sig själv så rakar inte barberaren honom, om han inte rakar sig själv så gör barberaren det.

Ta nu barberaren:

Ponera att han inte rakar sig själv: Ja då faller han in under kategorin av folk som inte rakar sig själv alltså blir han rakad av barberaren i byn, alltså han själv. Alltså kan han omöjligen inte raka sig själv.

Ponera nu istället att han rakar sig själv. Då faller han under den andra kategorin, dvs. de som rakar sig själva, alltså blir han inte rakad av barberaren alltså sig själv. Alltså kan han omöjligen raka sig själv.

Alltså han kan varken raka sig själv eller inte raka sig själv.

Russels paradox är väl snarare definierad som: I en stad så rakar en barberare alla som inte rakar sig själv. Alla som rakar sig själv rakas inte av barberaren. Vem rakar barberaren?

Problemet är ju en definitionsfråga, hade man tydligt definierat att barberaren själv var ett specialfall skulle inget problem finnas och poängen är väl att man alltid ska definiera sina fall tydligt :).

Ett annat exempel på samma sak är ju: Alla tal delat i sig själv är 1, noll delat i ett annat tal är alltid noll. Eller varför inte: x = 2, x = 1, samma problem. Man har definierat två inkompatibla fakta utan att ange undantagsregler.

Tack Savje!

Nu är jag övertygad efter att länge trott att det var 50% chans i slutet. Men den här simpla förklaringen hjälpe mig mycket!

Är det någon som vet om det här "logiska problemet" med byn och bron.
Det handlade något om två byar och alla i den ena byn ljög, medans alla i den andra talade sanning, vilken fråga skulle man då ställa till den personen för att få reda på vars han/hon bodde.

Man kan ju inte fråga "bor du i by a" för svarar hon ja så kan hon ju komma från lögnar byn och den sannings talande byn.

Det var några andra vilkor också. Så om någon kommer ihåg problemet så vore det schyyst om du kunde posta i tråden.