koppla ihop 2 routers, en trådad och en trådlös, sätta den trådlösa i bridge mode?

Låter som du tänkt helt rätt.
Finns det ett färdigt AP-lage på router nummer 2 så är det ju bara att sätta på det, så skall det ju förhoppningsvis fungera direkt.
IP-adresser kommer att tilldelas av router nummer 1, om du använder AP-läge på nummer 2.

Om du inte har AP-mode ( är väl inte så vanligt på enbart trådade ) så stänger du av DHCP på Router 2, kopplar från LAN 1-4 till LAN 1-4.

Då behöver du inte fundera på andra inställningar.

@alexander_1986: Har du ett AP-mode på router 2 så använd detta, kolla bara om den skall ha inkommande anslutning i WAN eller LAN port, det kan vara olika beroende på modell och tillverkare.

Sen kan jag rekommendera att du ger den ett fast ip som inte ligger inom DHCP rangen huvudroutern delar ut.
Ex. Router 1 har 192.168.0.1
Ställ in DHCP range i router 1 mellan 192.168.0.100 till 254
Tilldela router 2 ett fast ip som 192.168.0.10
När du efter detta skall komma åt inställningarna på router 2 går du i webbläsaren via det ip du tilldelat.

Router 2 kommer fungera som en AP och all tilldelning av ip kommer skötas av router 1.

Har routern AP mode ställer den in allt som behövs för att den skall fungera som AP, du behöver endast ställa in wifi inställningarna.
Det är först om router 2 inte har AP mode man måste stänga av NAT och DHCP manuellt.