Skrivet av OpWildChild:
Kul tal. Sådana kan jag sitta och klura på länge. (har inte gått längre än grundskole matten 1-9) så ser inget enkelt i det. Men roligt.
Det är då generell matematik är otroligt användbar. Vi kan ställa upp en så kallad funktion som talar om för oss den totala energin E (i wattimmar) en lampa förbrukat om vi talar om för den hur lång tid t (i timmar) lampan har lyst, och om lampans effekt P (i watt) är känd.
En funktion är en maskin som vi ger ett tal (i detta fall t) och som då spottar ur sig ett annat tal beroende på vad vi gav den. Funktionen som beräknar hur mycket energi som gått åt kan heta E och vad den spottar ur sig beror alltså på t – närmare bestämt genom att den förbrukade energin är effekten multiplicerad med tiden. På matematiska skriver vi det så här:
E(t) = P · t
Oj, bara massa bokstäver, tänker man kanske då. Lättare att förstå ett exempel:
ELED(t) = 3 · t
Det som står där är att "energin som en LED-lampa förbrukat efter t timmar är samma sak som 3 · t".
"Hur mycket energi en LED-lampa förbrukat efter 100 timmar" kan vi på matematiska skriva ELED(100). Om vi vill veta hur mycket det är kan vi ha i åtanke att det ju är samma sak som 3 · 100, vilket vi på matematiska skriver:
ELED(100) = 3 · 100
En LED-lampa har alltså förbrukat 300 wattimmar efter 100 timmar.
En halogenlampa har effekten 15 W, så motsvarande funktion för den ser ut så:
Ehalogen(t) = 15 · t
Efter 100 timmar har den förbrukat Ehalogen(100) wattimmar. Hur mycket är det då? Jo:
Ehalogen(100) = 15 · 100
Alltså 1500 wattimmar.
Men det intressanta var ju den totala kostnaden för respektive lampa, inte energiförbrukningen i sig. Och frågeställningen var: Efter hur lång tid är LED-lampan billigare totalt sett? Alltså, hur många timmar måste lamporna lysa för att totalkostnaden för LED-lampan ska vara lägre?
Om vi vill ge oss på det kan vi ha nytta av en funktion som talar om för oss totalkostnaden om vi talar om för den hur länge lampan lyst. För en generell lampa kan vi då tänka oss att dess totalkostnad är dess energiförbrukning E(t) (i wattimmar) multiplicerad med priset per energienhet k (i kronor per wattimme), plus inköpspriset m (i kronor). På matematiska kan vi då skriva en funktion som kan heta K och som spottar ut ett pris i kronor som beror på tiden t (i timmar):
K(t) = k · E(t) + m
För LED-lampan skulle vi ha:
KLED(t) = k · ELED(t) + 60
Och vi vet ju sedan tidigare vad ELED(t) är samma sak som, nämligen 3 · t, så vi kan skriva det istället:
KLED(t) = k · 3 · t + 60
Priset per wattimme, k, var 0,001 kr (eftersom priset per kilowattimme var 1 kr), så vi kan skriva 0,001 istället för k:
KLED(t) = 0,001 · 3 · t + 60
Vi förenklar det uttrycket lite:
KLED(t) = 0,003 · t + 60
Nu har vi ett enkelt sätt att ta reda på hur stor totalkostnaden är för en LED-lampa som lyst i en viss tid. En LED-lampa som lyst i 100 timmar skulle exempelvis ha kostat totalt
KLED(100) = 0,003 · 100 + 60 = 0,3 + 60 = 60,3 kr
Vi kan göra precis samma sak med totalkostnaden för en halogenlampa:
Khalogen(t) = k · Ehalogen(t) + 40
Khalogen(t) = k · 15 · t + 40
Khalogen(t) = 0,001 · 15 · t + 40
Khalogen(t) = 0,015 · t + 40
Om vi nu tänker oss att det har gått en viss tid tsamma (som vi vill ta reda på) så att totalkostnaden för de båda lamporna är identisk, förstår vi att "totalkostnaden för LED-lampan efter tsamma timmar", KLED(tsamma), måste vara lika mycket som "totalkostnaden för halogenlampan efter tsamma timmar", Khalogen(tsamma):
KLED(tsamma) = Khalogen(tsamma)
Vi vet sedan tidigare vad vi kan ersätta vänster- respektive högersidan med:
0,003 · tsamma + 60 = 0,015 · tsamma + 40
Minus 40 på båda sidorna:
0,003 · tsamma + 60 − 40 = 0,015 · tsamma + 40 − 40
0,003 · tsamma + 20 = 0,015 · tsamma
Minus 0,003 · tsamma på båda sidorna:
20 = 0,015 · tsamma − 0,003 · tsamma
20 = 0,012 · tsamma
Dela med 0,012 på båda sidorna:
20 / 0,012 = 0,012 · tsamma / 0,012
20 / 0,012 = tsamma
1666 ≈ tsamma
Woo! Efter ca 1666 timmar har lamporna kostat lika mycket totalt. Därefter är LED-lampan billigare.
Så kan man arbeta matematiskt.
